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公共 Wifi 一般来说是比较危险的；只要设置一个和官方热点同名的“伪基站”，即可诱骗他人连接并窃取未加密的信息。考虑到 T 大校园内技术大神的密度这种危险大概是不可忽略的。好在学校现有的企业级热点 Tsinghua-Secure 可通过数字证书消除这一隐患（北大也有类似的热点：PKU Secure）。然而！官方提供的配置指南却完全跳过了校验证书的配置… 经过两个晚上的折腾我终于搞清楚了这东西的配置方法，在此记录并分享给诸位。

注：本文适用于安卓 / Linux / Windows, 苹果的 MacOS / iOS 无需此操作。苹果系统在首次连接时似乎会自动缓存证书，后续连接则会比对首次连接的证书；因此只要保证第一次连接的热点是安全的，就没有问题。

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Notes / 学习笔记 栏目是本人未经打磨的学习笔记，内容多源于经典教科书，一般在文章开头声明，或在正文及脚注当中标出，并未严格遵循 bibliography 格式；对此本人深表歉意。相应地，对于文中的原创想法，欢迎按照 CC-BY-NC-SA 4.0 版权协议分享，详见文末。

\[\pdd{\bar{z}} \pqty{\frac{1}{z}} = \pi\,\delta(\vec{z})\]

我最早是在 Qualls 的 CFT 讲义 arxiv:1511.04074 计算自由 boson 场处看到的这个公式，没想到在著名的“黄书” Di Francesco 中也出现了（在引入二维共性对称不久），还给出了仔细的证明，可见比较重要。下面我们也尝试证一证，并以此复习一下早已忘却的复变函数

Notes / 学习笔记 栏目是本人未经打磨的学习笔记，内容多源于经典教科书，一般在文章开头声明，或在正文及脚注当中标出，并未严格遵循 bibliography 格式；对此本人深表歉意。相应地，对于文中的原创想法，欢迎按照 CC-BY-NC-SA 4.0 版权协议分享，详见文末。

众所周知，无穷大是量子场论中不可避免的一个问题。无穷大的存在本身其实并不难理解——若采用现在流行的固体物理图像，场论可视为格点体系的连续极限；把离散系统强行取连续极限，这样的操作在数学上显然是危险的。

不过，物理学家们始终希望能取这一极限；一旦成功，即表明着真实世界可以用光滑的时空及其上的 点粒子 激发加以描述，这显然是十分舒适的。然而，四处涌现的无穷大无情地告诉我们，这一操作在量子场论的框架内是无法实现的；现实中的 量子场论 大多仅适用于一定能标 $\Lambda$ 之下的物理世界，某种意义上均是所谓有效场论（effective field theory）；无穷大实际反映了我们对 $a\lesssim\Lambda^{-1}$ 尺度下物理的无知，这里的 $a$ 即是粒子物理中的“格距”。要想 从根本上 去除这些无穷大，必须突破量子场论的旧框架，如将点粒子换成有尺度的东西（弦理论），或是直接解构光滑时空（圈量子引力，loop quantum gravity）。

不过，神奇的是，经过一系列神奇的操作，我们竟然能从根本上不完备的量子场论中压榨出大量非平庸的信息，由此得到的修正效应通过了最为严苛的实验检验；这一系列操作正是所谓的正规化（regularization）与重整化（renormalization）。

此笔记即为理解重整化而做，意在整理重整化的核心思想，而不关注具体的技术细节；主要参考文献为刘川老师的 QFT_v1.641 讲义（可视为 Peskin 的精简升级版）、郑汉青老师的《量子场论》、经典教材 Schwartz 及一本较为现代的教材 Thanu Padmanabhan.

Notes / 学习笔记 栏目是本人未经打磨的学习笔记，是基础课程的整理和重构；其中必然包含大量的笔误，对此本人深表歉意。同时，笔记当中定有原创的想法，对此本人保留版权；而其余基础内容多源于经典教科书，一般在文章开头声明，或在正文及脚注当中标出，并未严格遵循 bibliography 格式。对此本人再次深表歉意。

这是本人在大二上学期、学习史宇光老师微分几何课程时总结的笔记。无论从时间还是逻辑上，这一笔记都早于前述广义相对论笔记，也比前者完整；但由于懒惰，直到一年半后的今天才整理到可以发布的程度。

Notes / 学习笔记 栏目是本人未经打磨的学习笔记，是基础课程的整理和重构；其中必然包含大量的笔误，对此本人深表歉意。同时，笔记当中定有原创的想法，对此本人保留版权；而其余基础内容多源于经典教科书，一般在文章开头声明，或在正文及脚注当中标出，并未严格遵循 bibliography 格式。对此本人再次深表歉意。

这是我烂尾的狭义 + 广义相对论笔记；其中的狭义部分始创于大二上学期，广义部分则于大二下增补。

广义部分中，场方程以前的几何铺垫比较详尽，而场方程以后的内容严重不足，这是笔者兴趣所向 + 时间所限共同作用的后果。这一庞大而烂尾的成就令本人既自豪又难堪，但其中的内容或许可以帮助到本学期（大三下）选修广义相对论课程的诸多同学，故还是公开于此。欢迎增补、改进。

纯 PDF 链接在此。

本文系高春媛老师所授《Hilbert 空间》之总结扩展。

参见前文，我们知道，

在量子力学中，粒子的运动信息“储存”在量子态 $\ket{\Psi}$ 中。几何上，$\ket{\Psi}$ 对应 $N$ 维 Hilbert 空间中的一点，其中 $N\le\infty$. 这一假定即为 量子态公设。

除此之外，约定 $\lambda\ket{\Psi}$ 与 $\ket{\Psi}$（其中 $\lambda\in\mbb{C}\setminus{0}$）表示同一物理状态。因此，准确地说，量子态实际并不对应Hilbert空间中的点，而是其中经过原点的射影直线（projective rays）。在此等价关系下，物理的量子态实际是射影 Hilbert 空间中的元素。但是，为了计算方便，往往在 Hilbert 空间中考虑 $\ket{\Psi}$, 最终再将其单位化。

事实上，态的 时间演化 正是以相因子表示的，故难以在射影 Hilbert 空间中方便地处理；因此，我们需要线性 Hilbert 空间上的量子力学。

可见 Hilbert 空间在量子力学中的重要意义。相应地，本文试图澄清 Hilbert 空间的一些基本特性。