本文系高春媛老师所授《Hilbert 空间》之总结扩展。
参见前文，我们知道，
在量子力学中，粒子的运动信息“储存”在量子态 $\ket{\Psi}$ 中。几何上，$\ket{\Psi}$ 对应 $N$ 维 Hilbert 空间中的一点，其中 $N\le\infty$. 这一假定即为 量子态公设。
除此之外，约定 $\lambda\ket{\Psi}$ 与 $\ket{\Psi}$（其中 $\lambda\in\mbb{C}\setminus{0}$）表示同一物理状态。因此，准确地说，量子态实际并不对应Hilbert空间中的点，而是其中经过原点的射影直线（projective rays）。在此等价关系下，物理的量子态实际是射影 Hilbert 空间中的元素。但是，为了计算方便，往往在 Hilbert 空间中考虑 $\ket{\Psi}$, 最终再将其单位化。
事实上，态的 时间演化 正是以相因子表示的，故难以在射影 Hilbert 空间中方便地处理；因此，我们需要线性 Hilbert 空间上的量子力学。
可见 Hilbert 空间在量子力学中的重要意义。相应地，本文试图澄清 Hilbert 空间的一些基本特性。
首先，一言以蔽之，Hilbert 空间即 完备（complete） 的内积空间。内积空间人尽皆知，不必多言；然何为完备？作为一个有多重含义的词汇，有必要对其进行说明。
此外，有些材料还要求空间具有 可分性（separable），即应当有可数（countable）基；这是否意味着，自由粒子所处的空间（以不可数的 $\delta$ 分布或 $e^{ikx}$ 为基）是“不可分”空间呢？答案是否定的。下面尝试加以具体说明。
完备性
通俗地说，这里 空间的完备性 意指其对 极限运算 封闭。我们常说实数域 $\mbb{R}$ 完备而有理数域 $\mbb{Q}$ 不完备，正是这个意思。完备（complete）是个被滥用的词汇；常见的另一个意思是针对线性空间的基底定义的，基底的完备性 指的是其可以张成（span）整个线性空间。
Hilbert 空间既是线性空间，又可以取极限，因此同时涉及到空间和基底的完备性，极易混淆。然而，鲜见参考资料讨论这一问题。（也有可能是我读书太少吧…）一个例外便是无所不包的 Griffiths 脚注：
Griffiths 量子力学脚注中对 Completeness 的讨论：
Same word, unfortunately!
私以为，Griffiths 的精华多在脚注和习题当中
可分性
拓扑学背景
若不关心可分性的拓扑本源，可以略过这一段讨论。
首先，可分性（separability）是来源于拓扑的一个概念；对一般的拓扑空间，“可分”即具有 可数稠密子集。所谓稠密子集，即全空间任一邻域内总有该子集中的元素；例如，实数 $\mbb{R}$ 能由可数的有理数 $\mbb{Q}$ 逼近（无限小数展开实际上就是一种逼近），故 $\mbb{Q}\subset\mbb{R}$ 稠密子集，从而 $\mbb{R}$ 可分。
也就是说，可分性实际用于衡量拓扑空间的 countability, 称 separability 大概是历史遗留问题。
事实上，“可分”也是个充满了误会的词语；另有描述拓扑空间 分离 特性的概念，即 Axioms of separation —— 注意，“分离”是 separation, 这与可分（-ble, 或 -bility）是完全不同的概念…
这里我们只关心 Hilbert 空间；由于它首先是个完备的内积空间，即自然是度量空间，此时有定理保证，
- “可分”等价于——
Hilbert 空间 作为拓扑空间，具有可数拓扑基（base）；
（拓扑黑话为 “$C_2$ 可数”，一般有 $C_2 \Rightarrow C_1$ 且可分） - 且进一步等价于——
Hilbert 空间 作为线性空间，具有可数基底（basis）。
具体讨论可参见 [1] 或 [2]. 也就是说，对 Hilbert 空间而言，讨论可分性时可以绕过复杂的拓扑概念，只需直接检查其作为线性空间的性质——是否具有可数基底。
Hibert 空间的可分性
众所周知，量子力学中的 束缚态 波函数可以由傅立叶 级数 展开；也就是说，束缚态所属的 Hilbert 子空间自然是可分的。此时，作为物理学工作者 
我们可以直观地将这一想象为 $\mbb{R}^{\aleph_0}$, 其中 $\aleph_0 = \norm{\mbb{N}}$.
相应地，自由粒子所属的 Hilbert 空间 似乎 没有可数基，且在 感觉上 显著大于 $\mbb{R}^{\aleph_0}$, 毕竟它同时包含了束缚态和散射态。然而，在涉及无穷大的问题上，历史教训告诉我们，直觉是不不可靠的。 事实上，谐振子的本征态波函数（Hermite 多项式再乘上一个对称的指数衰减因子）即可展开 $\mbb{R}$ 上的平方可积实函数，构成一组可数完备基（这里的完备性就是前面所说的 基底 的完备性）。参见 wiki: Hermite polynomials # Hermite functions.
虽说波函数实际上是实变复值函数，但我们总可以把它拆成实部可虚部（很不物理
），从而实函数的展开依然适用。
据维基百科所述，量子力学乃至场论中 物理的 Hilbert 空间都是可分的。也就是说，如果不关心数学基础，我们不必担心空间的可分性质；确确实实，物理的东西总是 充分好 的 
若想了解不可分的各种奇怪例子，不妨看这里。
进一步，任意无穷维可分 Hilbert 空间皆互为等距同构。所以，说白了我们只需关心维数为 $\aleph_0$ 的特例（以及其有限维的子空间）；下面的工作就交给数学家去完成啦。（事实上，这类空间数学家们早已在实变函数与泛函分析中研究得十分透彻了，拿来用即可！）