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众所周知，无穷大是量子场论中不可避免的一个问题。无穷大的存在本身其实并不难理解——若采用现在流行的固体物理图像，场论可视为格点体系的连续极限；把离散系统强行取连续极限，这样的操作在数学上显然是危险的。
不过，物理学家们始终希望能取这一极限；一旦成功，即表明着真实世界可以用光滑的时空及其上的 点粒子 激发加以描述，这显然是十分舒适的。然而，四处涌现的无穷大无情地告诉我们，这一操作在量子场论的框架内是无法实现的；现实中的 量子场论 大多 仅适用于一定能标 $\Lambda$ 之下的物理世界，某种意义上均是所谓有效场论（effective field theory）；无穷大实际反映了我们对 $a\lesssim\Lambda^{-1}$ 尺度下物理的无知，这里的 $a$ 即是粒子物理中的“格距”。要想 从根本上 去除这些无穷大，必须突破量子场论的旧框架，如将点粒子换成有尺度的东西（弦理论），或是直接解构光滑时空（圈量子引力，loop quantum gravity）。
不过，神奇的是，经过一系列神奇的操作，我们竟然能从根本上不完备的量子场论中压榨出大量非平庸的信息，由此得到的修正效应通过了最为严苛的实验检验；这一系列操作正是所谓的正规化（regularization）与重整化（renormalization）。
此笔记即为理解重整化而做，意在整理重整化的核心思想，而不关注具体的技术细节；主要参考文献为刘川老师的 QFT_v1.641 讲义（可视为 Peskin 的精简升级版）、郑汉青老师的《量子场论》、经典教材 Schwartz 及一本较为现代的教材 Thanu Padmanabhan.
Note: 这里我们忽略了一类特殊的场论，即传说中的共形场论（conformal field theory, CFT）。CFT 在尺度变换下不变（scale invariant），故其不再只是个低能有效理论，而是蕴含了所有尺度的物理信息！事实上，
- 后面我们将看到，重整化流（RG flow）的“不动点”（fixed point）正是一个 CFT;
- 弦论在给定散射过程的情形下（这称为“一次量子化”的弦论，first-quantized string theory）即约化为世界面（worldsheet）上的 CFT;
- 现实中的一些特定的物理现象也具有尺度不变性，如所谓的临界现象（critical phenomenon）；这类体系也往往可用 CFT 描述。
注意：尺度不变性 往往 意味着共形不变性，相应的系统由 CFT 描述。然而，这一事实存在反例，可参见 Qualls [1511.04074] 中的有关讨论。这里我们简单起见，不区分 CFT 以及更一般的尺度不变场论。
正规化
相对于重整化，正规化看似是比较容易理解的，即想方设法把超出能标的高能行为给限制掉（regulated）或截断掉（cut off）。这里我们以紫外发散为例；对红外发散的情况而言，截断的则是未知的低能行为（或空间上的大尺度行为）。最为简单粗暴的正规化就是在 $\Lambda$ 处硬截断（hard cut-off）；当然，具体操作时会有很多技术细节需要注意，例如（详见 Schwartz 的附录）：
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规范对称性： 截断若不尊重规范对称性，则往往无法控制发散；例如，若强行截断真空极化单圈贡献的动量积分，将给出 $\propto \Lambda^2$ 平方发散的结果，进一步导致光子获得 $\propto \Lambda$ 的质量（参见刘川，或 Peskin）。其原因在于，合理的截断应当针对机械动量（对应时空的小尺度特征），这不同于实际被积的正则动量——此时的正则动量是 规范协变 的，依赖 $A_\mu$:
\[\hat{p}_\mu = -iD_\mu = -i\partial_\mu - eA_\mu\]$p_\mu$ 蕴含了场 $A_\mu$ 的贡献，此时硬截断显然难以满足要求；这时往往采用维数正规化。
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维数正规化： 通过对维数 $d$ 进行解析延拓，大约相当于引入一个 $p^{-\epsilon}$ 的压低*，同时保护了规范不变性，可以给出正确的结果；如对上述电子自能问题，维数正规化给出发散的因子为：
\[\Gamma\pqty{\frac{\epsilon}{2}} \sim \frac{2}{\epsilon} - \gamma_{\,\mrm{Euler}}\]即关于 $\pqty{\frac{1}{\epsilon}}$ 线性发散。
* 对维数正规化的上述理解是十分粗略的，存在一些问题，详见这一问答。此外，维数正规化物理性的另一证据源于其与 Riemann $\zeta$ 函数正规化的等价性（而后者可以进一步与各种高能压低相联系），参见这两种正规化方案的维基页面。
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Pauli–Villars 鬼场： 在积分中可以引入一个符号相反、质量 $\Lambda$ 的项以压低高能贡献，而几乎不影响原积分的低能行为；回到 Lagrangian, 这一项相当于在体系中引入了一个非物理的鬼场（ghost）。
Pauli–Villars 鬼场和重整化中的抵销项（counterterms，参见后文）看起来有些相似，不过两者并不一致：P-V 是一种正规化方案，其对 Lagrangian 进行了修改，相当于补充了额外的高能信息；而重整化中的抵销项实际上是对 Lagrangian 的重新组合，相当于改变了微扰展开的起点，而并没有本质上修改 Lagrangian.
如上可见，正规化的方案可谓是五花八门；对于一个发散的费曼图，我们原则上可以有多种正规化的方法。事实上，正规化应当属于量子场论的 定义过程；对于一个未经正规化的场论，由于没有明确声明其高能行为，本质上是个物理上缺乏 良定义 的体系（参见刘川，或 Peskin）。
不过，现实中我们却往往脱离正规化谈论量子场论，这源于一个极端非平庸的事实——对于一系列“好”的量子场论而言，任何 （$\ll \Lambda$ 截断能标的）物理不会 敏感 地依赖于高能的 具体 行为。注意，这并不意味着高能对低能没有影响；恰恰相反，对于这一类“好”的场论，高能对低能行为的修正可以 “一致” 地显现出来，只是不依赖高能行为的 具体形式。这一事实正是归功于这类场论 可重整化 的特性。
与此相关但有微妙差异的另一概念即所谓 UV 完备性，详细讨论可参见 arxiv:1705.06777. 正规化之后，原则上我们已经不存在发散，而只须处理 $\Lambda$ 水平的大数量。不过，因为偷懒，我们往往还将这样的量称为发散量，即对应 $\Lambda\to\infty$ 时的情形。
[未完待续，TODO: 量纲分析]
微扰论的前提是相互作用充分小，故可逐级展开；然而，展开后的高阶项（在正规化后、重整化前）都是发散的，似乎完全破坏了微扰论的基础。那么该如何理解微扰论的合法性呢？或许 有以下几点思路（有待验证）：
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考虑指数级数：
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\]该级数在 $x\to\infty$ 时每一项都是发散的；尽管如此，它对任意大的 $x$ 都是收敛的，收敛半径为 $\infty$. 此诠释源于某 StackExchange [来源请求].
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通常的微扰重整化是从自由场开始展开的，而实际得到的物理结果是相对物理能标 $\mu_0$ 展开的。考虑不同参数构成的理论空间（space of theories），可以认为自由场在某个无穷远点处，难以由级数展开抵达有限远处；
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相反，各种参数的相互作用场在有限远处，可以相互间通过微扰展开联系，并由渐进展开得到 $\infty$ 处的自由场。