问：怎样理解格林公式和高斯公式？
答：内部发生的增减一定会体现在表面上，休想掩藏，哈哈。 ——知乎 小机
事实上，格林公式、高斯公式都是广义 Stokes 定理（generalized Stokes’ theorem）的特殊形式：
\[\oint_{\partial\Omega} \omega = \int_\Omega \mathrm{d}\omega\]看似复杂的公式，表现的也就是一个意思——公式左边，是某个量 $\omega$ 在区域 $\Omega$ 边界（符号表示为 $\partial\Omega$）上的积分；而右侧表示的是该量的微分 $\mathrm{d}\omega$ 在整个区域 $\Omega$ 上的积分。（当然，数学上这么说是不太严格的，事实上有更具体的条件；$\Omega$ 是个有定向的流形，$\omega$ 称为微分形式。）直观上该定理的意思正如前文引用的那段话：在条件充分好的情况下，内部的增减总会反映在边界上。
口说无凭，看几个该定理的特例：
微积分基本定理（牛顿–莱布尼茨）
\[\Big\{F(x)\Big\}_a^b = \int_a^b\mathrm{d}F = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]左边：$F(x)$ 在 $[a,b]$ 边界——也就是 { 点$a$, 点$b$ } ——上的积分；实际上此处就是求和：
\[\sum_{\partial[a,b]}F(x) = \big\{\!+\! F(b)\big\} + \big\{\!-\! F(a)\big\} = F(b) - F(a)\]右边：$\mathrm{d}F(x)$ 在 $[a,b]$ 上的积分； 该定律的意思是，任一闭区间上函数的积分与区间端点原函数的函数值直接相关。这和 Stokes 定理的内涵是一致的。
高斯定理
数学中的散度定理：
\[\iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\]物理上，电磁学中的高斯定律：
\[\iint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{\sum Q}{\epsilon_0}\]以上式子中的$\displaystyle \iint$写成 
更佳。该定律的意思是，任一闭合曲面内的电荷量与通过该曲面的电通量成正比；曲面内部的电荷量若发生变化，通过其表面的电通量也会发生变化。 显然，这和 Stokes 定理的意思是完全一致的。
除上述两例之外，旋度定理、格林公式也可看作广义 Stokes 定理的特例。
2020.02.03 Note: 更仔细（且基础）的讨论可见 John Lee, GTM218.